目前，世界各国都在大力推进通信技术的应用和发展，传输信息的同时消息的保密技术更是国内外学者研究的热点，在这之中为随机码的产生显得尤为重要，Logistic映射正是产生保密序列的先进模型。Logistic映射也被称作虫口模型，它是目前研究非常广泛的一种混沌映射。Logistic映射的意义可解释为：在某一范围内单一种类的昆虫繁殖时，其子代数量远远大于其亲代数量，这样可以认为，在子代出生后，其亲代的数量可忽略不计。基于Logistic映射的混沌流密码算法在保密通讯领域中举足轻重的作用，使得对Logistic映射动力学特性分析的探究具有重大意义。

本文主要针对Logistic映射的动力学特性研究，结合混沌把简单与复杂、有序和无序、确定与随机以及稳定性和不稳定性的矛盾统一起来形成的形态和结构崭新的物质运动理论和Matlab实验平台强大的仿真运算能力，详细分析了不同参数和不同系统初值下Logistic映射展现出的不同的变化趋势和动力学极限行为，包括：稳定点、周期以及混沌。研究结果表明：随着μ的逐渐增大，系统迭代的周期会逐渐增多，当我们控制参数μ在不同范围内变化时，Logistic映射会展现出不同的动力学趋势，即输出始终为同一个数值或者输出会在2个或者多个数值之间跳跃，以及输出的终态不会重复，而会等概率地取遍某个区间。

第二章 Logistic映射

2.1 Logistic映射的物理意义

Logistic映射即虫口模型，它是目前研究非常广泛的一种混沌映射。Logistic映射的意义可解释为：在某一个范围内单一种类的昆虫繁殖时，其子代数量远远大于其亲代数量，这样可以认为，在子代出生之后，其亲代的数量可忽略不计。设Xn是某种昆虫第n年的个体数目，这个数目与其年份有关，n只取整数值，第n+1年的数目为Xn+1。

混沌映射是研究混沌系统的工具，通过对混沌映射的研究探索可以抽象出许多相应的动力学系统的性质和特点。在加密系统的设计模拟过程中，混沌映射对于生成数字化离散混沌序列也是必不可少的。

一维Logistic映射的数学表达式如下：

（2- 1）

其中，0≤x≤1，μ为控制参数，0 < μ≤4。当0 <μ≤1时，这个系统有一个定常解0（即初值取0时会使生成的序列全部为0），而且无论初值取为何值，通过多次迭代，序列会最后收敛于0。

当1<μ≤3时，定常解为0和1 1/μ，多次迭代后序列将会收敛于这两个值中的一个。当3<μ≤4时，系统从倍周期通向混沌^[15]。特别地，当3.5699456…<μ≤4时，系统进入混沌状态，迭代生成的值将会处于一种伪随机分布的状态，而且μ取值越接近4，混沌性会更强。当μ = 4时，Logistic映射的Lyapunov指数为ln2 = 0.6931。

使用Logistic映射时应当注意如下几点。

① 即使Logistic映射处于混沌区，即3.569945…<μ≤4，也会出现所谓的倒分支现象。当μ＝4时Logistic映射在[0, 1]区间上出现混沌，称为单片混沌。当μ逐渐减小时，开始仍为单片混沌，但当μ减小到一个值μ1 = 3.678573…时，会由单片混沌变成2片混沌，即迭代值分布在2个区域，每一次迭代数值从其中一个跳到另一个。当μ值再减小到μ2 = 3.592572…时，2片混沌又分为4片，μ值继续减小，将产生8, 16, 32等倒分支，倒分支一直延续到μ∞ = 3.5699456。尽管取值仍是混沌的，但还是会影响混沌序列的性质，故应将μ值取在[1, 4]，以改善序列的随机分布性能。

② 当两个初值相差很小时，多次迭代后确实会相差很多，但这种差别只有在多次迭代后才会明显（如几十次）。因此在使用Logistic混沌系统时，可以先让系统先迭代一定次数之后，然后使用生成的值，这样可以更好地掩盖原始的情况。

③ 一个好的伪随机序列应该有较为平均的分布，也就是说，每个数出现的概率应该是相等的，但是Logistic映射迭代序列的分布并不是均匀的，而是呈现两头大中间小的情形，就是说分布在0、1附近的概率较大。另外，除了μ=4 的迭代值域为[0, 1]外, 其他μ值的迭代值域都会小于这个范围。计算表明，取定μ值的迭代值上界为μ/4，下界为(1 μ/4)μ×μ/4。要保持迭代序列在整个[0, 1]区间的分布特性，在必要的情况下可以通过下面线性变换使每个参数μ下的迭代值域变换到[0, 1]区间，这样就消除了在参数μ作用下混沌方程迭代输出值域的差异性。

2.2 Logistic映射的仿真与控制

从20 世纪 60 年代，洛伦兹发现混沌现象以来，混沌理论研究一直受到普遍的关注。随着混沌研究的不断进步，人们开始把目光聚焦在控制混沌和利用混沌的研究上。控制和利用混沌的研究都是基于一些典型的混沌系统。因此，对这些混沌系统进行研究及Matlab仿真是非常必要的，能为进一步研究混沌系统及控制和利用混沌提供简便的程序方法。利用状态反馈来控制系统中的运动, 是工程中常用的方法. 这是以假设系统的状态可以用测量手段来获得为基础的. 线性系统理论在解决常规的控制问题中已经充分显示了它的实用价值. 混沌系统自身的特点使得混沌控制不同于常规的控制问题. 褚衍东等研究人员利用线性反馈控制对一些连续混沌动力系统进行了有效的控制.

Logistic映射的确切描述由19世纪中叶由荷兰生物学数学家Verhulst提出，表达式为：

（2- 2）

对于每个确定的m，可以得到相应的一系列X0,,X1⋯,Xn。通过对μ取值的讨论，我们不难看出：当0＜μ≤1时，系统动力学形态非常简单，只有一个周期点x 0 =0；当1 ＜μ＜3 时，系统动力学形态同样比较简单，有两个周期点；当3 ≤μ≤ 4 时，系统动力学形态十分复杂，系统由倍周期通向混沌。

下面用Matlab对Logistic映射进行仿真。