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数学分析中的抽象与直观-知网论文查重

时间:2016-09-05 11:20:00 编辑:知网 阅读:

摘要

数学分析这门科学显著区别于其他学科的特点之一便是高度的“抽象性”,知网论文查重这种抽象性并不是不能理解的,我们可以通过不同的方式使这种“抽象性”转变为“直观化”。因为直观形象在我们的认知结构中比较鲜明,可以为抽象思维提供信息,并举一反三使读者理解数学结论,同时培养自身的分析与观察能力。

本篇论文拟用文献资料分析法以及案例分析法等方法,在明确数学“抽象性”与“具体化”的基础上,分析抽象与直观的关系,并探讨如何使抽象的数学直观化,从而方便读者更好的理解数学知识。知网论文查重

一 引言

1.1 问题提出的背景

对于数学的分析,开始我们就要先了解数学语言,思想方法,定理证明等基本概念,只有对这些名词有深入的了解以及对概念十分清楚之后,才能更好的进行数学分析。但是由于数学的高度抽象性,导致我们对数学概念的理解困难增加,本篇论文就是在这样的背景下,讨论数学分析中的抽象化与直观化,并探讨如何将抽象化化为直观化。

数学分析是一门非常重要的基础性课程, 科学,连贯 , 是数学系以及理科生必须学习的基础性学科,就比如小学学习的加减法运算,初中学习的分数运算,高中数学中的集合等,都是我们学习数学的基础,也为大学数学做了铺垫;数学分析也一样,它包含了很多丰富的数学思想和数学基础知识。然而,对于很多大学生来说,并不易懂,也并没有很好的去掌握它, 是因为我们没有领悟到数学分析中的抽象和直观的思想, 抽象问题可以直观化, 归根到底就是我们没有很好的数学思想。

1.2 研究数学分析中的抽象与直观的意义与价值

对数学分析中的抽象与直观方法的研究,可以慢慢得出抽象化化为直观化的规律,进而提高对数学分析概念的理解力,从而使读者更好的掌握数学分析中的基础性知识。数学分析中有关问题的抽象和直观方面有益于扩展我们大学以及中学数学知识的层面,研究数学分析中的抽象与直观,它为分析、解决和处理数学分析问题提供了简单易懂的模型方法和解决策略,也培养了数学严谨科学的逻辑思维的能力。使读者更好的运用数学分析的基础知识解决更加有难度的大学数学知识。

二 把抽象的数学分析直观化解决

抽象和具体往往在一个问题中同时存在,相辅相成。具体离不开抽象的总结。数学是一项严谨的学科,在不断的学习中,我们会发现我们固有的知识似乎并不全面,不够严谨,所以,每次接受新知识时候,需要有一次比较直观化的形式,才能更好的完成过渡。

2.1 对于抽象的数学语言使其直观化

数学知识的基本单位就是概念,具有相对的独立性,初学者如果只是死记硬背就会很容易导致不理解,或者是一知半解,不知道具体概念的具体含义。这种机械式的记忆,很容易被遗忘,也不容易去运用,证明。然而我们可以尝试一下对于抽象的数学语言使其具体化,用“极限”这个概念来为探讨。

数列极限的精确定义为.

 

由于数列极限的高度抽象性,初学者对极限的定义可能难以理解,进而就会很难运用极限的知识解决其他问题。如果我们从数列极限的几何意义的角度,将抽象的极限定义直观化。也许可以帮助我们深入全面的理解数列极限的概念。加深数学概念在脑中形成的构架,意义,方法。

首先我们来看几个数列,其中可以把看成微小的波动值,可以在直角坐标系中画出数列的各个点,观察规律。

由以上数列及图形我们可以清晰地观察到,对于一个数列,当n趋于无穷大时,总会趋近于一个数a.

在这里我们可以把看成和的距离,把 看成和a的逼近程度,和的距离不超过, 当越来越小,和的距离越来越近;当无限小趋于零的时候,也可以看成和趋于重合,我们就可以说的极限为.

我们也可以把化简成.当越来越小,和就越来越接近,当无限小趋于零的时候,和都趋近于.即也就无限趋近于.通过这两种几何解释,我们可以直观的理解极限的定义。

因此极限的定义可以陈述如下:

 

到这里我们抽象的极限定义的语言也已经直观化导出,简单,明了,通过几何直观的证明我们可以深入的理解极限定义的本质,易于我们更好的理解把握。再具体问题中也可以灵活应用,在解决问题证明问题中也有很重要的作用。

2.2对于抽象的数学思想使其直观化

在数学分析中很多定义和定理的证明,以及数学问题的计算等,都涉及到各种各样的数学思想,然而数学有很思想多都是抽象的,不易我们很好的理解和运用。如果我们可以找到一个方法将其几何直观化,那么证明过程就显而易见,同时也易于我们对抽象问题的加深理解。数形结合的思想就是一个典型的数学直观法的思想。运用数学结合的思想可以帮助读者直观,形象的理解抽象的数学分析内容。

数学是研究空间几何形式和数量关系的科学,而空间图形以及数量关系之间往往存在着各个方面的特点以及密不可分的联系。数形结合思想方法.就是研究数学中的几何意义,通过分析数量中的图形意义,来探索定义的规律,并且找到解决问题的方法.这种方法使得把复杂的抽象问题简单化。

数形结合的思想在数学分析课程中体现到其基础性和重要性,很多问题都会运用这个思想来演绎证明,很多抽象问题中,我们不知道从什么样的角度去分析它,但其实,每个定理,每个数学知识都有其独特的几何意义,我们可以通过绘画几何图形,或者用向量运算方法,对抽象问题进行从浅入深的分析,这样我们可以更容易理解抽象问题的真正意义,可以从自己熟悉的几何方法中寻求解决问题的方法,也可以使复杂的数学知识简单化,加深我们的记忆,对以后的学习也奠下基础.比如:零点定理的证明,极限的运算,定积分与重积分的计算和证明、无穷积分以及瑕积分的运算和证明、探究函数的凹凸性和奇偶性以及函数的单调性等概念的几何意义,这些定义是很重要的,我们有必要去好好掌握这些内容,探讨方法,便于理解与记忆,同时我们也可以运用所学的知识来解决实际中的问题。又比如:介值性定理、根的存在定理、拉格朗日定理、费马定理、柯西定理、积分中值定理等几何意义,对其定理的基本理解和广泛应用都有很大的帮助。

下面我们看一下Lagrange 中值定理证法的直观推断,

如图所示,在函数上任意找一点M,过M作x轴的垂线AB于N,由于直线AB的方程为

 

于是我们可知点M的坐标为,点的坐标为,所以,通过简单的向量运算我们可知:

由于向量的终点M是在曲线移动的,当M与A重合时,当M与B重合时于是,作辅助函数

则时,;当时,,我们可以从图看出,函数是在开区间内可导的,在闭区间上是连续的,这样就给证明拉格朗日定理提供了一个很好的前提条件,故由罗尔中值定理知,至少存在一点,使得,即

这样,我们就把拉格朗日中值定理直观简明,易懂地证明出来了。 这里,我们通过了定理的几何意义以及它的几何图形的分析,运用了向量的简单运算,把坐标与几何图形联系起来,构造了可以解决问题的辅助函数,清晰简明的证明了拉格朗日中值定理的定义,方便读者以后对郎格朗日中值定理的学习研究,以及对郎格朗日中值定理的应用。

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