知网论文查重-矩阵是高等代数最基本的概念之一，它在数学及其他自然科学领域乃至社会科学领域都有广泛的应用.对称矩阵与反对称矩阵作为特殊矩阵无论在理论方面，还是在实际应用方面都有很重要的意义.本文主要对反对称矩阵进行介绍，从其标准形入手，分析反对称矩阵的若干性质以及其应用，以便更深刻的理解反对称矩阵。

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引言

反对称矩阵在高等代数中是一个独特的角色，因此，很多学者都对反对称矩阵都进行过相关的研究。如张海山，谢良金等老师针对反对称矩阵的基本性质、秩的性质等都提出了各自的见解，但对于反对称矩阵的标准形相对较少，所以本文就前辈们的经验，加以梳理，并且主要对反对称矩阵的标准形加以研究.

（符号说明）在下文中，以表示数域P上的全体阶矩阵构成的线性空间， 以表示矩阵A的转置，以表示矩阵A的秩，表示以矩阵A的元素的共轭复数作元素的矩阵

2基本概念及性质

2.1概念

定义  设A∈,若,则称A为反对称矩阵。当A为实对称矩阵时，反对称矩阵就称为实反对称矩阵.

显然，反对称矩阵A=（）∈的元素有如下特征:

定义 n阶实数矩阵A为正交矩阵，如果.

定义 若A满足，就称A为酉矩阵

2.2基本性质

性质1　若 为 阶反对称矩阵, 是实数, 是正整数, 则:

(1) ,  ,  为反对称矩阵.

(2)为反对称矩阵的充要条件为 .

(3)若 为奇数时,则为反对称矩阵, 若为偶数时,  则为对称矩阵.

性质2 　若为阶矩阵, 则必为反对称矩阵.

 证明　因为, 所以为反对称矩

阵.

性质3 　若 是奇数阶反对称矩阵，则不可逆, 即.

证明　因为 , 所以 .

性质4 　设是阶反对称矩阵,  是阶对称矩阵, 则 是阶反对称矩阵.

证明  因为,

所以是阶反对称矩阵.

性质5 　若 为n 阶实矩阵, 则为反对称矩阵的充要条件为对任意维列向量 , 均

有.

证明  充分性:令，取，其中表示第个分量是1，其余分量为的n元列向量。则

.

故，从而为反对称矩阵.

必要性:设A是反对称矩阵，其中是一个数，则=，所以，从而=.

性质6  若为阶反对称矩阵，为其伴随矩阵，则为偶数时，为反对称矩阵；为奇数时，为对称矩阵.

证明  由伴随矩阵定义可知,且对任意数，有。又为反对称矩阵，所以,从而，当n为奇数时，，即为对称矩阵。从而，当为偶数时，，即为反对称矩阵.

性质7 若为阶可逆反对称矩阵，则为偶数，且也是反对称矩阵.

证明  由性质3可知，n为偶数。因为，再由性质6可知是反对称矩阵.

性质8 实反对称矩阵的特征值等于纯虚数或.

证明  设是实反对称矩阵，是的特征值，为的属于特征特的征向量，即，从而，即：

得：.所以，等于纯虚数或.

性质9 设是反对称矩阵的特征值，则也是的特征值.

证明 由于是反对称矩阵的特征值，所以,从而，其中是的阶，所以也是的特征值.

性质10 若为反对称实矩阵,则属于其不互为相反特征值的特征向量必正交.

证明　 设是反对称实矩阵的两个不互为相反数的特征值,

是分别属于的特征向量,所以, ,在 两端分别取其转得, 在两端分别右乘,得 , 因此,, 又,故.